Vývoj riešenia Kármánovej diferenciálnej rovnice

doc. Ing. Rudolf Pernis, CSc.¹;doc. Dr. Ing. Milan Škrobian, CSc.^2; Ing. Miroslav Polášek ³

¹Farmet s.r.o., Robotnícka 4334, 017 01 Považská Bystrica, Slovenská republika
²Inoval – Slovenská akadémia vied, Priemyselná 525, 965 01 Žiar nad Hronom, Slovenská republika
³Fakulta Špeciálnej techniky, Trenčianska univerzita Alexandra Dubčeka v Trenčíne, 911 50 Trenčín, Slovenská republika

Stáhnout článek v PDF

Výpočet stredného normálového napätia materiálu na valce na základe matematickej teórie procesu valcovania vykonali mnohí autori. Dvojrozmerná diferenciálna rovnica normálových napätí pri dvojrozmernej deformácii je základom všetkých teórií valcovania, ktoré prvýkrát publikoval Kármán. Riešenia vždy vychádzajú z určitých zjednodušení diferenciálnej rovnice, ktorá popisuje geometriu tvaru kruhového valca. Zjednodušenie popisu geometrie pracovného valca je založené na aproximácii kruhového oblúka, ktorý je v styku s valcovaným materiálom. Kruhový oblúk valca je aproximovaný jednoduchšími krivkami. Postupne sú to krivky: lomená krivka, priamka a parabola. Posledné riešenie predstavuje použitie kruhového oblúka vo forme kružnice. Kármánovú diferenciálnu rovnicu v podstate tvoria dve diferenciálne rovnice, kde jedna popisuje oblasť zaostávania a druhá oblasť predbiehania. Normálové napätie na valce je počítané ako pomerné napätie, ktoré je normalizované hodnotou základného aktuálneho deformačného odporu. Funkcia, ktorá umožňuje výpočet pomerného bezrozmerného napätia je nazvaná ako sigma funkcia. Pre výpočet strednej hodnoty pomerného napätia je uvedený výpočet súradnice neutrálneho bodu. Z priebehov sigma funkcie v oblasti zaostávania a oblasti predbiehania je vypočítaná stredná hodnota sigma funkcie. Stredná hodnota sigma funkcie umožňuje výpočet celkovej valcovacej sily. Predložené výpočty predpokladajú konštantný základný deformačný odpor, čo je použiteľné pre valcovanie za tepla. Z porovnania jednotlivých spôsobov výpočtu normálového napätia z nameranými hodnotami normálového napätia vyplýva, že najnižšie odchýlky dáva riešenie Kármánovej diferenciálnej rovnice s aplikáciou rovnice kružnice.

Klíčová slova: pozdĺžne valcovanie; Kármánova diferenciálna rovnica; normálové napätie; relatívne napätie; aproximácia kruhového oblúka